Армен Феликсович Азизян родился в 1959 году в городе Октемберян, Армянской ССР. В 1981 году окончил Ереванский политехнический институт по специальности инженер-строитель. После окончания института А.Ф. Азизян в течение двенадцати лет работал в Министерстве внутренних дел Армянской ССР, став одним из самых молодых руководителей в структуре. После распада СССР участвовал в становлении новой Государственной налоговой службы Республики Армения. В 1996 году перешел на работу в Аппарат Правительства Республики Армения, где возглавлял Контрольное управление и одновременно занимал должность заместителя Министра-Руководителя Аппарата Правительства, а в 1999–2000 годы стал Председателем Госстандарта Республики Армения.
В 2000 году А.Ф. Азизян решением Премьер-министра Республики Армения был назначен на должность начальника Национального агентства по авторским правам Республики Армения, а затем возглавил Агентство интеллектуальной собственности Министерства экономического развития Республики Армения. Несмотря на сложности, обусловленные тем, что эта область деятельности была для него практически новой, он с интересом погрузился в ее изучение и сумел за короткий срок стать профессионалом в этой сфере, а также создать высокопрофессиональный, динамично развивающийся коллектив, способный на международном уровне обеспечивать охрану промышленной собственности в Республике Армения. За годы работы А.Ф. Азизяна на этом посту он проделал большую работу по сохранению и развитию коллектива и внес значительный вклад в разработку законодательных актов в области интеллектуальной собственности.
В 2018 году А.Ф. Азизян приступил к работе в качестве вице-президента Евразийского патентного ведомства. К тому времени он уже хорошо был известен в Ведомстве, так как с 2002 года являлся полномочным представителем Республики Армения в Административном совете ЕАПО. Под его руководством в ЕАПВ было осуществлено несколько важных проектов, в частности проект непрерывной публикации евразийских патентов и заявок на евразийские патенты. Это позволило в дальнейшем сократить сроки публикации почти в пять раз, что, безусловно, повысило престиж Ведомства у заявителей и патентных поверенных, сотрудничающих с Евразийским ведомством.
В настоящее время в должности советника президента ЕАПВ на А.Ф. Азизяна возложено руководство такими направлениями, как экспертиза евразийских заявок и выдача евразийских патентов, подготовка к публикации евразийской патентной документации, обеспечение выпуска официальных изданий ЕАПВ, формирование и развитие электронного фонда евразийских патентных документов, развитие и техническое сопровождение сетевой инфраструктуры, а также информационная безопасность ЕАПВ. Кроме того, он курирует Организационно-правовое управление Ведомства.